Calcule os seguintes limites: lim x 0 1-cos ^2(2 x)x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular . Estamos lidando com limites, que é um conceito da análise matemática, mais especificamente do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar saber algumas identidades trigonométricas e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. Sabemos que 1 - cos^2(2x) = sin^2(2x) pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica básica:
lim x 0 sin^2(2x)x^2
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a fração para facilitar o cálculo do limite. Podemos dividir e multiplicar por 2 dentro do seno:
sin^2(2x)x^2 = ( sin(2x)x )^2

Passo 4

Vamos manipular a parte dentro do parênteses para usar uma propriedade conhecida do limite:
sin(2x)x = 2 cdot sin(2x)2x
Portanto:
( sin(2x)x )^2 = ( 2 cdot sin(2x)2x )^2 = 4 cdot ( sin(2x)2x )^2

Passo 5

Sabemos que:
limx 0 sin(kx)kx = 1
No nosso caso, limx 0 sin(2x)2x = 1 , então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
4 cdot ( sin(2x)2x )^2 4 cdot (1)^2 = 4

Resposta

lim x 0 1-cos^2(2 x)x^2 = 4

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