Determine a derivada de
, utilizando a regra da cadeia:
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x)=ln(cos²x) usando regra da cadeia. O conteúdo envolve derivada de logaritmo e derivada de função composta, e vamos precisar da fórmula da derivada de ln(u) e da derivada de (cos x)².
Passo 2
Seja u(x)=(cos x)². Pela regra da cadeia para logaritmo, temos f(x)=ln(u(x)) e f’(x)=u’(x)/u(x).
Agora calculamos u’(x). Como u(x)=(cos x)², usamos a regra da potência junto com a derivada de cos x: u’(x)=2·(cos x)·(d/dx[cos x])=2·cos x·(−sin x)=−2 sin x·cos x.
Agora calculamos u’(x). Como u(x)=(cos x)², usamos a regra da potência junto com a derivada de cos x: u’(x)=2·(cos x)·(d/dx[cos x])=2·cos x·(−sin x)=−2 sin x·cos x.
Passo 3
Substituindo em f’(x)=u’(x)/u(x) obtemos: f’(x)= (−2 sin x·cos x) / (cos² x).
Simplificando a fração, cancelando um cos x: f’(x)= −2 sin x / cos x = −2 tan x.
Simplificando a fração, cancelando um cos x: f’(x)= −2 sin x / cos x = −2 tan x.