Exercício 10. Seja Omega subseteq R^d aberto limitado com partial Omega in C^1 e seja u in W^k, p(Omega). Mostre que, para quaisquer varepsilon>0 e beta in N^d com 0<|beta|<k, existe cvarepsilon=c(k, Omega, varepsilon)>0 tal que
|partial^beta u|L^p(Omega) <= varepsilon|u|W^k, p(Omega)+cvarepsilon|u|L^p(Omega)
Dica: Usar argumento por contradição e o exercício anterior.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado varepsilon>0 e betainN^d com 0<|beta|<k, existe constante cvarepsilon tal que
|partial^betau|L^p(Omega)<= varepsilon,|u|W^k,p(Omega) + cvarepsilon,|u|L^p(Omega)
O conteúdo principal é uma estimativa de derivada intermediária em termos da norma total de Sobolev e da norma L^p. A dica sugere usar argumento por contradição e o fato (exercício anterior) de que a inclusão
W^k,p(Omega)hookrightarrow W^|beta|,p(Omega)
é compacta quando 0<|beta|<k.

Passo 2

Suponha, por contradição, que para algum varepsilon>0 não exista tal cvarepsilon. Então, para cada inteiro n>=1 podemos achar unin W^k,p(Omega) tal que, para c=n,
|partial^betaun|L^p(Omega) > varepsilon,|un|W^k,p(Omega) + n,|un|L^p(Omega)

Passo 3

Defina a normalização
vn = un|un|W^k,p(Omega)
Então |vn|W^k,p(Omega)=1 e a desigualdade anterior fica
|partial^betavn|L^p(Omega) > varepsilon + n,|vn|L^p(Omega)
Como |partial^betavn|L^p<=|vn|W^k,p=1, segue
1>varepsilon + n,|vn|L^p(Omega) Longrightarrow |vn|L^p(Omega)<1-varepsilonn ;xrightarrow[ntoinfty];0,
mas ao mesmo tempo
|partial^betavn|L^p(Omega)>varepsilon forall n

Passo 4

Pela compacidade da inclusão W^k,p(Omega)hookrightarrow W^|beta|,p(Omega), existe subsequência (ainda notada vn) e vin W^|beta|,p(Omega) tais que
vn to v fortemente em W^|beta|,p(Omega)
Em particular |vn-v|L^pto0, mas como |vn|L^pto0 já vimos, concluímos v=0. Então
|partial^betavn|L^p(Omega) ;xrightarrow[ntoinfty];0,
o que contradiz |partial^betavn|L^p>varepsilon.

Passo 5

A contradição mostra que a hipótese de não-existência de cvarepsilon é falsa. Portanto, para todo varepsilon>0 existe cvarepsilon>0 satisfazendo
|partial^betau|L^p(Omega) <= varepsilon,|u|W^k,p(Omega) + cvarepsilon,|u|L^p(Omega),
conforme desejado.

Resposta

Para quaisquer varepsilon>0 e betainN^d com 0<|beta|<k existe cvarepsilon>0 tal que, para todo uin W^k,p(Omega),
|partial^betau|L^p(Omega) <= varepsilon,|u|W^k,p(Omega) + cvarepsilon,|u|L^p(Omega)

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