Calcule os seguintes limites:
lim x +infty x^2 / 3(x^2+2)^1 / 3

Passo 1

A gente quer calcular o limite limxto+infty x^2/3(x^2+2)^1/3. Isso é um caso de ∞/∞, e vamos usar a técnica de extrair o termo dominante para simplificar.

Passo 2

Dentro da raiz cúbica do denominador, podemos fatorar x^2. Ou seja:
(x^2+2)^1/3 = l(x^2(1 + 2/x^2)r)^1/3 = x^2/3(1 + 2/x^2)^1/3

Passo 3

Substituindo essa expressão no limite, obtemos:
$$\frac{x{2/3}}{(x2+2)^{1/3}} = \frac{x{2/3}}{x{2/3}(1 + 2/x2){1/3}} = \frac{1}{(1 + 2/x2){1/3}}.
$$

Passo 4

Agora, quando xto+infty, temos 2/x^2to0. Logo
$$\frac{1}{(1 + 2/x2){1/3}} \to \frac{1}{1^{1/3}} = 1.
$$

Resposta

1

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