Calcule os seguintes limites:
lim x 0^+ ln (sen a x)ln (sen x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0^+lnl(sin(a x)r)lnl(sin xr). O conteúdo aqui é cálculo de limites envolvendo função logarítmica e a aproximação de sin x para x pequeno.

Passo 2

A teoria que vamos usar é que, quando xto0, temos sin xapprox x. Isso implica que lnl(sin xr)approxln x, pois o erro relativo entre sin x e x vai para zero.

Passo 3

Aplicando essa aproximação na expressão do limite, temos: lnl(sin(a x)r)approxln(a x)=ln a+ln x e lnl(sin xr)approxln x.
Agora basta olhar o quociente:
lnl(sin(a x)r)lnl(sin xr)approxln x+ln aln x=1+ln aln x
Como xto0^+ faz ln xto-infty, o termo ln aln x tende a zero. Portanto o quociente tende a 1.

Resposta

1

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