Encontre a solução da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Isso significa que existe uma função potencial
cuja derivada total nos dá a equação original. Para resolver, precisamos encontrar essa função
.
Passo 2
Primeiro, identifique as funções que multiplicam
e
na equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e surge da constante de integração.
Passo 5
Agora, usamos a segunda condição
para encontrar
:
Então, integramos
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão para
:
Como a equação original era igual a zero, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante real.