Encontre a solução da equação
(2 x+3) d x+(2 y-2) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
(2x + 3) , dx + (2y - 2) , dy = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Isso significa que existe uma função potencial psi(x, y) cuja derivada total nos dá a equação original. Para resolver, precisamos encontrar essa função psi(x, y).

Passo 2

Primeiro, identifique as funções que multiplicam dx e dy na equação:
M(x, y) = 2x + 3 N(x, y) = 2y - 2
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(2x + 3) = 0 partial Npartial x = partialpartial x(2y - 2) = 0
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função psi(x, y) tal que:
partial psipartial x = M e partial psipartial y = N

Passo 4

Vamos encontrar psi(x, y) integrando M em relação a x:
psi(x, y) = integral M , dx = integral (2x + 3) , dx = x^2 + 3x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y e surge da constante de integração.

Passo 5

Agora, usamos a segunda condição partial psipartial y = N para encontrar h(y):
partial psipartial y = partialpartial y(x^2 + 3x + h(y)) = h'(y) = 2y - 2
Então, integramos h'(y) em relação a y:
h(y) = integral (2y - 2) , dy = y^2 - 2y + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos h(y) de volta na expressão para psi(x, y):
psi(x, y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y + C
Como a equação original era igual a zero, igualamos psi(x, y) a uma constante:
x^2 + 3x + y^2 - 2y = C

Resposta

A solução geral da equação é:
x^2 + 3x + y^2 - 2y = C
Onde C é uma constante real.

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