Dado o seguinte sistema
X^prime(t)=(cc 2 & -1 3 & -2 ) X(t)
Descreva o comportamento das soluções quando t infty e verifique se são linearmente independentes (I.i).

Passo 1

O sistema dado é X'(t)=A,X(t) com A=2 & -13 & -2. Vamos resolver usando teoria de sistemas lineares de coeficientes constantes: primeiro encontramos autovalores e autovetores de A, escrevemos a solução geral e, por fim, analisamos o comportamento quando ttoinfty e verificamos independência linear das soluções.

Passo 2

Para achar os autovalores fazemos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=det2-lambda & -13 & -2-lambda=(2-lambda)(-2-lambda)-(-1)cdot3
Explicando a teoria: esse determinante nos dá uma equação em lambda cujas raízes são os autovalores.

Passo 3

Calculando o determinante obtemos:
(2-lambda)(-2-lambda)+3=-(4-lambda^2)+3=lambda^2-1=0
Logo, os autovalores são lambda1=1 e lambda2=-1.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada autovalor. Para lambda1=1 resolvemos (A-I)v=0:
1 & -13 & -3v1v2=0Rightarrow v1=v2
Podemos escolher v^(1)=(1,1)^T. Para lambda2=-1 resolvemos (A+I)w=0:
3 & -13 & -1w1w2=0Rightarrow 3w1=w2,
então escolhemos w^(2)=(1,3)^T.

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos:
X(t)=C1e^,t11+C2e^-t13
Aqui aplicamos o teorema de que, para valores próprios distintos, as soluções independentes são e^lambda tv.

Passo 6

Para analisar o comportamento quando ttoinfty:
  • O termo e^,t(1,1)^T cresce exponencialmente (modo instável).
  • O termo e^-t(1,3)^T decai a zero (modo estável).
    Portanto, o ponto de equilíbrio na origem é uma sela: soluções gerais divergem a menos que C1=0, caso em que tendem à origem.

Passo 7

Para verificar independência linear dos dois modos, calculamos o determinante da matriz cujas colunas são os dois autovetores:
det1 & 11 & 3=1cdot3-1cdot1=2neq0
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

As soluções formam uma sela: o modo e^t(1,1)^T cresce exponencialmente e o modo e^-t(1,3)^T decai a zero quando ttoinfty. Os dois autovetores são linearmente independentes, logo é uma base fundamental do sistema.

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