Dado o seguinte sistema
Descreva o comportamento das soluções quando
e verifique se são linearmente independentes (I.i).
Passo 1
O sistema dado é
com
. Vamos resolver usando teoria de sistemas lineares de coeficientes constantes: primeiro encontramos autovalores e autovetores de
, escrevemos a solução geral e, por fim, analisamos o comportamento quando
e verificamos independência linear das soluções.
Passo 2
Para achar os autovalores fazemos o polinômio característico:
Explicando a teoria: esse determinante nos dá uma equação em
cujas raízes são os autovalores.
Passo 3
Calculando o determinante obtemos:
Logo, os autovalores são
e
.
Passo 4
Agora achamos um autovetor para cada autovalor. Para
resolvemos
:
Podemos escolher
. Para
resolvemos
:
então escolhemos
.
Passo 5
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos:
Aqui aplicamos o teorema de que, para valores próprios distintos, as soluções independentes são
.
Passo 6
Para analisar o comportamento quando
:
- O termo
cresce exponencialmente (modo instável). - O termo
decai a zero (modo estável).
Portanto, o ponto de equilíbrio na origem é uma sela: soluções gerais divergem a menos que, caso em que tendem à origem.
Passo 7
Para verificar independência linear dos dois modos, calculamos o determinante da matriz cujas colunas são os dois autovetores:
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
As soluções formam uma sela: o modo
cresce exponencialmente e o modo
decai a zero quando
. Os dois autovetores são linearmente independentes, logo é uma base fundamental do sistema.