Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: f(x)=ln ^2(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=ln²(2x) usando a regra da cadeia. O conteúdo é derivação de função composta, e vamos precisar identificar a função externa g(u)=u² e a interna u(x)=ln(2x).

Passo 2

Identificamos as funções: a externa é g(u)=u² e a interna é u(x)=ln(2x). Pela regra da cadeia, f’(x)=g’(u(x))·u’(x).

Passo 3

Calculamos a derivada da interna u(x)=ln(2x). Como ln(2x)=ln2+lnx, temos u’(x)=1/x. Alternativamente, usando derivada de ln(v): u’(x)=1/(2x)·2=1/x.

Passo 4

Agora aplicamos f’(x)=2·u(x)·u’(x), ou seja, f’(x)=2·ln(2x)·(1/x). Simplificando, ficamos com f’(x)=2ln(2x)/x.

Resposta

f'(x)=2ln(2x)x

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