Calcule os seguintes limites:
lim x -infty(3 x+23 x-1)^2 x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto-inftyl((3x+2)/(3x-1)r)^2x. É um limite do tipo 1^infty, e para resolver vamos usar a técnica de logaritmo e exponencial aplicável a limites dessa forma.

Passo 2

Definimos L=limxto-infty((3x+2)/(3x-1))^2x e reescrevemos em termos de exponencial.

Passo 3

Preparamos a parte interna do exponencial aplicando logaritmo:
ln L=limxto-infty2x,ln3x+23x-1
Agora precisamos avaliar limxto-infty2xln3x+23x-1.

Passo 4

Para x muito negativo, usamos expansão em série para o logaritmo de quociente:
ln3x+23x-1=lnl(1+tfrac23xr)-lnl(1-tfrac13xr)
E como para y pequeno vale ln(1+y)approx y, temos
ln3x+23x-1approx23x+13x=1x
Multiplicando por 2x:
2xcdot1x=2
Portanto
ln L=2Rightarrow L=e^2

Resposta

e^{2}

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