Uma janela normanda tem a forma de um retângulo sobreposto por um semicírculo. Se a janela tem um perímetro de 9 m , expresse sua área A em função do seu comprimento x.

Passo 1

A janela normanda tem formato de um retângulo de base x e altura y sobreposto por um semicírculo de diâmetro x. O enunciado dá o perímetro total 9, m e pede a área em função de x. Vamos usar fórmulas de perímetro e área de figuras planas compostas.

Passo 2

O perímetro dessa figura é a soma de três lados do retângulo (base inferior e duas alturas) mais a semicircunferência de diâmetro x. Assim,
x + 2y + pi x2 = 9,

Passo 3

Isolando y,
2y = 9 - x - pi x2,
y = 9 - x - tfracpi x22 = 9 - xl(1+tfracpi2r)2.

Passo 4

A área A é a soma da área do retângulo e do semicírculo:
A(x)=x,y + 12l(pil(tfracx2r)^2r)=x,y + pi x^28

Passo 5

Substituindo y em A(x) e simplificando:
A(x)=xcdot9 - x - tfracpi x22 + pi x^28,
[A(x)=\frac{9x}{2}-\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x^2}{4}+\frac{\pi x^2}{8} = \frac{9x}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{\pi x^2}{8}.

Resposta

A(x)=9x2 - x^22 - pi x^28

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