Calcule os seguintes limites:
lim x -infty[raizx^2-x-raizx^2-9]

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto-inftyl[raizx^2-x-raizx^2-9r]
Quando xto-infty, cada raiz cresce sem limite, gerando a indeterminação infty-infty. Para resolver, vamos racionalizar a diferença de radicais.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por raizx^2-x+raizx^2-9, obtendo
raizx^2-x-raizx^2-9 =(x^2-x)-(x^2-9)raizx^2-x+raizx^2-9 =-x+9raizx^2-x+raizx^2-9

Passo 3

Como x<0, temos raizx^2-x=-xraiz1-1/x e raizx^2-9=-xraiz1-9/x^2. Logo
-x+9raizx^2-x+raizx^2-9 =-xl(1-9/xr)-xl(raiz1-1/x+raiz1-9/x^2r) =1-9/xraiz1-1/x+raiz1-9/x^2

Passo 4

Agora basta fazer xto-infty. Os termos 9/x, 1/x e 9/x^2 tendem a zero, então o numerador vai a 1 e o denominador a 1+1=2. Portanto
limxto-inftyl[raizx^2-x-raizx^2-9r] =12

Resposta

12

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