Transforme as coordenadas esféricas (4, pi6, pi2) em coordenadas retangulares e cilíndricas.

Passo 1

O enunciado dá um ponto em coordenadas esféricas (rho,theta,phi)=(4,tfracpi6,tfracpi2). O objetivo é converter esse ponto em coordenadas retangulares (x,y,z) e em coordenadas cilíndricas (r,theta,z). Para isso, usaremos as fórmulas padrão de transformação entre esses sistemas.

Passo 2

Na conversão de esféricas para retangulares usamos as relações
x = rho,sin(phi),cos(theta), y = rho,sin(phi),sin(theta), z = rho,cos(phi)

Passo 3

Substituindo rho=4, theta=tfracpi6, phi=tfracpi2, e sabendo que sin(tfracpi2)=1 e cos(tfracpi2)=0, obtemos
x = 4cdot1cdotcosl(tfracpi6r) = 4cdotraiz32 = 2raiz3,
y = 4cdot1cdotsinl(tfracpi6r) = 4cdot12 = 2,
z = 4cdot0 = 0
Portanto, em coordenadas retangulares o ponto é (2raiz3,,2,,0).

Passo 4

Para obter as coordenadas cilíndricas usamos
r = raizx^2 + y^2, theta = theta (mesma do sistema esférico), z = z (mesmo z encontrado acima) é
Aqui
r = raiz(2raiz3)^2 + 2^2 = raiz12 + 4 = 4,
e mantemos theta = tfracpi6 e z=0. Note que dá para ver diretamente r=rhosin(phi)=4cdot1=4.

Resposta

As coordenadas retangulares são (2raiz3, 2, 0).
As coordenadas cilíndricas são (4, tfracpi6, 0).

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