Calcule os seguintes limites.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim_{x→0} (∫_{0}{x{2}} cos(t^{2}) dt) / (∫_{0}{x{2}} e{-t{2}} dt). O conteúdo envolve limites do tipo 0/0, regra de l’Hôpital, o teorema fundamental do cálculo e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro observamos que, quando x→0, a integral de 0 até x² de qualquer função contínua tende a zero. Logo, tanto o numerador quanto o denominador →0, caracterizando uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, aplicamos a regra de l’Hôpital, diferenciando numerador e denominador em relação a x. Pelo teorema fundamental do cálculo e regra da cadeia:
ddxintegral0^x^2cos(t^2),dt = 2xcos(x^4)
ddxintegral0^x^2e^-t^2,dt = 2x,e^-x^4

Passo 4

Dividindo essas derivadas temos
2xcos(x^4)2x,e^-x^4 = cos(x^4),e^x^4
Em seguida, basta tomar o limite x→0: cos(0)·e^{0} = 1·1 = 1.

Resposta

1

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