Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
lim_{x→0} (∫_{0}{x{2}} cos(t^{2}) dt) / (∫_{0}{x{2}} e{-t{2}} dt). O conteúdo envolve limites do tipo 0/0, regra de l’Hôpital, o teorema fundamental do cálculo e regra da cadeia.
lim_{x→0} (∫_{0}{x{2}} cos(t^{2}) dt) / (∫_{0}{x{2}} e{-t{2}} dt). O conteúdo envolve limites do tipo 0/0, regra de l’Hôpital, o teorema fundamental do cálculo e regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro observamos que, quando x→0, a integral de 0 até x² de qualquer função contínua tende a zero. Logo, tanto o numerador quanto o denominador →0, caracterizando uma indeterminação do tipo 0/0.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, aplicamos a regra de l’Hôpital, diferenciando numerador e denominador em relação a x. Pelo teorema fundamental do cálculo e regra da cadeia:
Passo 4
Dividindo essas derivadas temos
Em seguida, basta tomar o limite x→0: cos(0)·e^{0} = 1·1 = 1.
Resposta
1