Calcule os seguintes limites:
lim x +infty(2 x-1)^2 / x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
(2x-1)^2/x
quando xto+infty. Esse é um caso clássico de indeterminação do tipo infty^0, então vamos usar logaritmo e exponencial para resolver.

Passo 2

Definimos y = (2x-1)^2/x e aplicamos o logaritmo natural para trazer o expoente para frente. Assim,
$$
\ln y = \frac{2}{x}\ln\bigl(2x-1\bigr).
$$

Passo 3

Agora calculamos o limite de ln y. Observe que
lnl(2x-1r) = ln x + ln!l(2 - tfrac1xr)
e, ao dividir por x, temos
ln(2x-1)x = ln xx + ln(2 - 1/x)x
Como ln x / x to 0 e ln(2 - 1/x) é limitado, conclui-se que
limxto+infty ln(2x-1)x = 0
e daí
limxto+infty ln y = limxto+infty2xln(2x-1) = 2cdot 0 = 0

Passo 4

Como ln yto 0, segue que y = e^ln y to e^0 = 1. Portanto, o limite original é 1.

Resposta

1

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