Calcule os seguintes limites
lim x raiz2 x^2-2x-raiz2

Passo 1

O enunciado pede
limxto raiz2x^2-2x-raiz2
Isso envolve uma indeterminação do tipo 00, então vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Verificamos a indeterminação fazendo substituição direta:
x^2-2|x=raiz2=(raiz2)^2-2=0, x-raiz2|x=raiz2=0,
portanto temos 0/0. Para resolver, fatoramos o numerador.

Passo 3

Fatoramos o polinômio do numerador como diferença de quadrados:
x^2-2 = l(x-raiz2r)l(x+raiz2r)

Passo 4

Substituindo na fração e cancelando o fator comum l(x-raiz2r) (para xneqraiz2), obtemos
x^2-2x-raiz2 =(x-raiz2)(x+raiz2)x-raiz2 =x+raiz2

Passo 5

Agora o limite deixa de ser indeterminado e basta substituir x=raiz2 em x+raiz2:
limxto raiz2l(x+raiz2r) =raiz2+raiz2 =2raiz2

Resposta

2raiz2

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