Calcule os seguintes limites
lim x 2 x+2x^2-4

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto2x+2x^2-4.
O conteúdo aqui é limite de função racional que, ao substituir x=2, gera divisão por zero. Vamos usar fatoração para simplificar e depois analisar limites laterais, pois pode haver divergência infinita.

Passo 2

Observe que
x^2-4 = (x-2)(x+2)
Para xneq2, podemos simplificar
x+2x^2-4 =x+2(x-2)(x+2) =1x-2

Passo 3

Agora calculamos o limite pela direita, isto é, xto2^+. Nesse caso x-2 é um número positivo cada vez menor, logo
limxto2^+1x-2=+infty

Passo 4

Para o limite pela esquerda, xto2^-, temos x-2 negativo e muito próximo de zero, daí
limxto2^-1x-2=-infty

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem (um vai a +infty e o outro a -infty), o limite geral em x=2 não existe (diverge).

Resposta

A função diverge em x=2. Mais precisamente,
limxto2^+x+2x^2-4=+infty
e
limxto2^-x+2x^2-4=-infty,
portanto
limxto2x+2x^2-4
não existe.

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