Verifique se as séries convergem ou divergem :
sumn=1^infty(1-n2+3 n)^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty l(1 - n2 + 3nr)^n
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, e o que vamos usar é o teste da raiz (ou teste de Cauchy) para séries.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
an = l(1 - n2 + 3nr)^n
Note que, em valor absoluto,
|an| = l|1 - n2 + 3nr|^n = l(n - 13n + 2r)^n,
pois para n>=2 o numerador 1-n é negativo e o denominador 2+3n é positivo.

Passo 3

O teste da raiz diz que se
L = limntoinfty raiz[n]|an|
existe e L<1, então a série sum an converge absolutamente. Vamos calcular esse L.

Passo 4

Calculamos
raiz[n]|an| = n - 13n + 2
Então
L = limntoinfty n - 13n + 2 = 13

Passo 5

Como obtivemos
L = 13 < 1,
o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série sumn=1^infty l(tfrac1 - n2 + 3nr)^n converge (converge absolutamente, pelo teste da raiz).

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