Calcule os seguintes limites:
lim x 1 raiz2 x^2-1-x3 x^2+x-4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1raiz2x^2-1-x3x^2+x-4. O conteúdo envolve limites com forma indeterminada 0/0 e vamos precisar usar racionalização do numerador e fatoração de polinômios.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=1:
raiz2cdot1^2-1-1=0 e 3cdot1^2+1-4=0, gerando 0/0, então é indeterminado.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando por sua conjugada raiz2x^2-1+x:
raiz2x^2-1-x3x^2+x-4;=; l(raiz2x^2-1-xr)l(raiz2x^2-1+xr)(3x^2+x-4)l(raiz2x^2-1+xr) =(2x^2-1)-x^2(3x^2+x-4)(raiz2x^2-1+x)

Passo 4

Simplificamos o numerador e fatoramos tudo: $ (2x2-1)-x2=x^2-1=(x-1)(x+1)$ e (2x^2-1)-x^2=x^2-1=(x-1)(x+1).
Então o quociente vira
3x^2+x-4=3(x-1)(x+4/3)

Passo 5

Cancelamos o fator x-1 e fazemos xto1:
x+13(x+4/3)(raiz2x^2-1+x)|x=1 =1+13(1+4/3)(1+1) =23cdottfrac73cdot2 =214 =17

Passo 6

Portanto, o limite existe e vale 1/7.

Resposta

tfrac17

Exercícios relacionados