Calcule os seguintes limites:
lim x 5 (x+1)^2-3625-x^2

Passo 1

A questão pede o cálculo do limite limxto5(x+1)^2-3625-x^2. O conteúdo aqui é limite de função que gera forma indeterminada, e vamos precisar usar fatoração de expressões quadráticas e diferença de quadrados para simplificar antes de avaliar o limite.

Passo 2

Para ver se dá indeterminação, tentamos substituir x=5 diretamente:
(5+1)^2-3625-5^2= 6^2-3625-25= 36-360= 00,
como deu 0/0, temos uma forma indeterminada e precisamos simplificar a expressão vazando o fator que gera o zero.

Passo 3

Primeiro, fatoramos o numerador:
(x+1)^2-36=x^2+2x+1-36=x^2+2x-35=(x-5)(x+7)

Passo 4

Depois, fatoramos o denominador reconhecendo diferença de quadrados:
25-x^2=-(x^2-25)=-(x-5)(x+5)

Passo 5

Aí a expressão fica
(x-5)(x+7)-(x-5)(x+5)=-x+7x+5,
onde já cancelamos o fator comum (x-5). Agora que não há mais indeterminação, podemos avaliar o limite substituindo x=5 nessa forma simplificada.

Passo 6

Substituindo x=5 em -tfracx+7x+5
-5+75+5=-1210=-65

Resposta

-\nfrac{6}{5}

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