Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites de funções racionais. Precisaremos verificar se substituindo
diretamente na expressão resulta em uma forma indeterminada, e se sim, fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente:
Obtemos a forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a fração.
Numerador:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa expressão igualando a zero:
Testando
:
Então,
é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando a regra de Ruffini, fatoramos:
Agora, fatoramos
:
Portanto, o numerador fatorado é:
Denominador:
Fatoramos
em comum:
Agora, fatoramos
:
Procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
. Esses números são
e
.
Portanto, o denominador fatorado é:
Passo 4
Agora, substituímos o numerador e o denominador fatorados na expressão original:
Podemos cancelar o fator
que está no numerador e no denominador:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.