Calcule os seguintes limites:
lim x 1 x^3-7 x+64 x^3-3 x^2-x

Passo 1

Vamos calcular o limite de x^3 - 7x + 64x^3 - 3x^2 - x quando x se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites de funções racionais. Precisaremos verificar se substituindo x = 1 diretamente na expressão resulta em uma forma indeterminada, e se sim, fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = 1 na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente:
1^3 - 7 cdot 1 + 64 cdot 1^3 - 3 cdot 1^2 - 1 = 1 - 7 + 64 - 3 - 1 = 00
Obtemos a forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a fração.
Numerador: x^3 - 7x + 6
Vamos tentar encontrar as raízes dessa expressão igualando a zero:
x^3 - 7x + 6 = 0
Testando x = 1:
1 - 7 + 6 = 0
Então, x - 1 é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando a regra de Ruffini, fatoramos:
x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6)
Agora, fatoramos x^2 + x - 6:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
Portanto, o numerador fatorado é:
(x - 1)(x + 3)(x - 2)
Denominador: 4x^3 - 3x^2 - x
Fatoramos x em comum:
x(4x^2 - 3x - 1)
Agora, fatoramos 4x^2 - 3x - 1:
Procuramos dois números que multiplicados dão 4 cdot (-1) = -4 e que somados dão -3. Esses números são -4 e 1.
4x^2 - 4x + x - 1 = (4x^2 - 4x) + (x - 1) = 4x(x - 1) + 1(x - 1) = (4x + 1)(x - 1)
Portanto, o denominador fatorado é:
x(4x + 1)(x - 1)

Passo 4

Agora, substituímos o numerador e o denominador fatorados na expressão original:
(x - 1)(x + 3)(x - 2)x(4x + 1)(x - 1)
Podemos cancelar o fator (x - 1) que está no numerador e no denominador:
(x + 3)(x - 2)x(4x + 1)

Passo 5

Agora, substituímos x = 1 na expressão simplificada:
(1 + 3)(1 - 2)1(4 cdot 1 + 1) = 4 cdot (-1)1 cdot 5 = -45

Resposta

O limite é -45.

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