Determine as derivadas direcionais das funções:
f(x, y)=x^2 y^3-y^4 no ponto P=(0,4) e na direção indicada pelo ângulo theta=pi4

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=x2y3−y^4, queremos a derivada direcional em P=(0,4) na direção θ=π/4; o conteúdo é derivada direcional, e para isso vamos precisar do gradiente de f e de um vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Para obter o gradiente, calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x,y^3, partial fpartial y=3x^2,y^2-4y^3

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em P=(0,4): f_x(0,4)=2·0·4^3=0 e f_y(0,4)=3·02·42−4·4^3=−256.

Passo 4

O vetor unitário na direção θ=π/4 é u=(cosθ, sinθ)=(√2/2, √2/2).

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar ∇f(0,4)·u:
Duf(0,4)=0cdotraiz22+(-256)cdotraiz22=-128raiz2

Resposta

-128raiz2

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