Calcule os seguintes limites.
lim x 2 raiz6-x-21-raiz3-x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular o limite limxto2 raiz6-x-21-raiz3-x. O conteúdo envolve indeterminação do tipo 0/0 e usaremos a técnica de racionalização de expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, notamos que ao substituir x=2 obtemos numerador raiz6-2-2=0 e denominador 1-raiz3-2=0. Para eliminar a raiz no numerador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raiz6-x+2:
raiz6-x-21-raiz3-x cdot raiz6-x+2raiz6-x+2 = (6-x)-4(1-raiz3-x)(raiz6-x+2) = 2-x(1-raiz3-x)(raiz6-x+2)

Passo 3

Reescrevemos o numerador como 2-x=-(x-2). Agora resta eliminar a raiz no denominador, multiplicando por 1+raiz3-x:
-(x-2)(1-raiz3-x)(raiz6-x+2) cdot 1+raiz3-x1+raiz3-x = -(x-2)(1+raiz3-x)(1-(3-x))(raiz6-x+2) = -(x-2)(1+raiz3-x)(x-2)(raiz6-x+2)

Passo 4

Cancelamos o fator x-2 (válido para xneq2) e ficamos com
-1+raiz3-xraiz6-x+2
Por fim, aplicamos xto2: no numerador 1+raiz3-2=2 e no denominador raiz6-2+2=4, obtendo o valor -2/4=-1/2.

Resposta

-tfrac12

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