Encontre a Série de Fourier da função f(x)=c0,-2 <= x <=-1, x,-1.

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 4 dada por
A função vale zero em
-2 <= x <= -1 e 1 <= x < 2,
e vale f(x)=x em
-1 < x < 1.
Precisamos encontrar sua série de Fourier (coeficientes a0, an, bn).

Passo 2

O período é T=4, logo L=T/2=2. A frequência fundamental é omega0=pi/2. Usamos as fórmulas
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx, an=1Lintegral-L^Lf(x)cosl(nomega0 xr),dx, bn=1Lintegral-L^Lf(x)sinl(nomega0 xr),dx

Passo 3

Observando a paridade: f(x) é ímpar (pois f(-x)=-f(x)), e cos é par, sin é ímpar. Daí
a0=0, an=0,
e apenas os bn podem ser não nulos.

Passo 4

Para calcular bn usamos
bn=12integral-2^2f(x)sinl(tfracnpi x2r),dx
Como o integrando f(x)sin(npi x/2) é par, isso vira
$$b_n=\int_{0}^{2}f(x)\sin\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr),dx.
bn=integral0^2f(x)sinl(tfracnpi x2r),dx óéãb_n=\int_{0}^{1}x\sin\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr),dx.$$

Passo 5

Agora fazemos integração por partes em
$$\int x\sin(ax),dx,\quad a=\tfrac{n\pi}{2}.
integral xsin(ax),dx, a=tfracnpi2 \int_01x\sin(ax),dx=\Bigl[-\tfrac{x}{a}\cos(ax)\Bigr]_01+\int_0^1\tfrac1a\cos(ax),dx.
u=x\int_01\cos(ax),dx=\Bigl[\tfrac1a\sin(ax)\Bigr]_01=\tfrac1a\sin(a).
$$

Passo 6

Substituindo, obtemos
$$b_n=-\tfrac{1}{a}\cos(a)+\tfrac1{a^2}\sin(a),\quad a=\tfrac{n\pi}{2}.
bn=-tfrac1acos(a)+tfrac1a^2sin(a), a=tfracnpi2 b_n=-\frac{2}{n\pi}\cos\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)+\frac{4}{n2\pi2}\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr).
$$

Passo 7

A série de Fourier final, lembrando que só há termos sin(nomega0x), fica
f(x)=sumn=1^inftybnsinl(tfracnpi x2r),
com bn dado acima.

Resposta

A série de Fourier é
f(x)=sumn=1^inftyl(-2npicos(tfracnpi2)+4n^2pi^2sin(tfracnpi2)r)sinl(tfracnpi x2r)

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