Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício faz parte do estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo raízes e frações, além de saber simplificar termos que aparecem no numerador e denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. O problema aqui é que temos uma raiz quadrada no numerador, o que pode complicar as coisas. Uma técnica útil para lidar com isso é a racionalização. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador por uma expressão que nos ajude a eliminar a raiz do numerador.
Passo 3
Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. A expressão conjugada de
é
. Fazendo isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores. No numerador, usamos a diferença de quadrados:
No denominador, temos:
Então, a expressão se simplifica para:
Passo 5
Agora, podemos simplificar mais. Observe que o
no numerador e no denominador pode ser cancelado:
Passo 6
Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite quando
tende a 0. Vamos substituir
na expressão:
Resposta
O limite é
.