Calcule os seguintes limites:
lim x 0 raiz9+5 x+4 x^2-3x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 raiz9+5 x+4 x^2-3x. Esse exercício faz parte do estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo raízes e frações, além de saber simplificar termos que aparecem no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. O problema aqui é que temos uma raiz quadrada no numerador, o que pode complicar as coisas. Uma técnica útil para lidar com isso é a racionalização. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador por uma expressão que nos ajude a eliminar a raiz do numerador.

Passo 3

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. A expressão conjugada de raiz9+5x+4x^2 - 3 é raiz9+5x+4x^2 + 3. Fazendo isso, temos:
raiz9+5x+4x^2 - 3x times raiz9+5x+4x^2 + 3raiz9+5x+4x^2 + 3

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores. No numerador, usamos a diferença de quadrados:
(raiz9+5x+4x^2 - 3)(raiz9+5x+4x^2 + 3) = (raiz9+5x+4x^2)^2 - 3^2 = 9 + 5x + 4x^2 - 9 = 5x + 4x^2
No denominador, temos:
x times (raiz9+5x+4x^2 + 3)
Então, a expressão se simplifica para:
5x + 4x^2x (raiz9+5x+4x^2 + 3)

Passo 5

Agora, podemos simplificar mais. Observe que o x no numerador e no denominador pode ser cancelado:
5 + 4xraiz9+5x+4x^2 + 3

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite quando x tende a 0. Vamos substituir x = 0 na expressão:
5 + 4(0)raiz9 + 5(0) + 4(0)^2 + 3 = 5raiz9 + 3 = 53 + 3 = 56

Resposta

O limite é 56.

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