Calcule os seguintes limites.
lim x 1 raizx-1x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1raizx-1x-1. Esse tipo de limite forma 0/0, parecido com a definição de derivada, então vamos usar uma técnica de manipulação algébrica para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Substituindo x=1 no numerador e no denominador temos raiz1-1=0 e 1-1=0, ou seja, obtemos a forma indeterminada tfrac00. Precisamos, portanto, de um artifício para simplificar a expressão.

Passo 3

Usamos a racionalização do numerador: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raizx-1, que é raizx+1. Assim, consideramos
raizx-1x-1timesraizx+1raizx+1

Passo 4

No numerador aparece
(raizx-1)(raizx+1)=x-1,
enquanto o denominador fica
(x-1)(raizx+1)
Logo a fração se transforma em x-1(x-1)(raizx+1).

Passo 5

Como estamos analisando o limite e xneq1 fora do ponto de interesse, podemos cancelar x-1, obtendo a forma simplificada
1raizx+1

Passo 6

Agora basta aplicar o limite xto1:
limxto11raizx+1=1raiz1+1=11+1=12

Resposta

tfrac12

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