Calcule os seguintes limites.
lim x 1 raizx-1x^2+x-2

Passo 1

A questão pede para calcular o limite de uma expressão que dá forma 0/0 quando x→1, o que indica que vamos precisar usar técnicas de fatoração no denominador e racionalização do numerador.

Passo 2

Primeiro, observe o denominador da fração: ele é dado por x^2 + x - 2. A gente sabe que para fatorar um polinômio de segundo grau, procuramos duas raízes que somem 1 e multipliquem −2. Isso dá
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)

Passo 3

Agora, o numerador é raizx - 1, que também se anula em x=1. Para eliminar essa indeterminação, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pela sua conjuga:
raizx-1(x-1)(x+2) ;=; raizx-1(x-1)(x+2) cdot raizx+1raizx+1 = x - 1(x-1)(x+2)(raizx+1)

Passo 4

Perceba que agora aparece um fator x-1 no numerador e no denominador, que podemos simplificar, deixando:
1(x+2)(raizx+1)

Passo 5

Depois dessa simplificação, a função resultante é contínua em x=1, então basta substituir x=1 diretamente nela para encontrar o limite:
limxto1 1(x+2)(raizx+1) = 1(1+2)(1+1)

Resposta

tfrac16

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