Determine a derivada de cada função a seguir:
(f(x)=e^{\sqrt{2 x+1}}\

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=e^{\sqrt{2x+1}}. O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos uma exponencial composta com uma raiz. Vamos precisar saber derivar e^{u} e u=\sqrt{2x+1}.

Passo 2

Identificamos as funções internas e externas: a função externa é exp(u), cuja derivada é exp(u)·u’, e a função interna é u(x)=\sqrt{2x+1}. Para derivar u usamos a regra da derivada da raiz:
Derivando u(x)=\sqrt{2x+1}= (2x+1)^{1/2} obtemos
[ u’(x)=\tfrac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot (2)=\tfrac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\tfrac{1}{\sqrt{2x+1}} ],

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em f(x)=e^{u(x)} temos
[ f’(x)=e^{u(x)} \cdot u’(x)=e^{\sqrt{2x+1}} \cdot \tfrac{1}{\sqrt{2x+1}} ].

Resposta

f’(x)=\frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}}

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