Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=sen x arcsec(3 x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=sin x,arcsec(3x),
que envolve produto de duas funções e a função inversa secante. Vamos usar a regra do produto e a derivada de arcsec(u).

Passo 2

Em primeiro lugar, lembramos do que precisamos:
• Derivada de sin x é cos x.
• Regra do produto: se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
• Derivada de arcsec(u) pelo uso da cadeia e fórmula padrão:
ddxl[arcsec(u)r]=u'|u|raizu^2-1

Passo 3

Aplicando a regra do produto a f(x)=sin xcdotarcsec(3x), obtemos:
f'(x)=cos xcdotarcsec(3x)+sin xcdotddxl[arcsec(3x)r]

Passo 4

Agora calculamos ddx[arcsec(3x)] usando u=3x, logo u'=3:
ddxl[arcsec(3x)r]=3|3x|raiz(3x)^2-1=33|x|raiz9x^2-1=1|x|raiz9x^2-1

Passo 5

Substituindo de volta em f'(x) e juntando tudo, chegamos a:
f'(x)=cos x,arcsec(3x)+sin xcdot1|x|raiz9x^2-1

Resposta

f'(x)=cos x,arcsec(3x)+sin x|x|raiz9x^2-1

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