Calcule os seguintes limites:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+8}-3}{x-1} $

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite
limxto1raizx^2+8-3x-1
Esse tipo de expressão, ao substituir diretamente x=1, gera uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização de radical, que elimina a raiz do numerador multiplicando pelo conjugado.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raizx^2+8-3, isto é, raizx^2+8+3:
raizx^2+8-3x-1cdotraizx^2+8+3raizx^2+8+3 =(raizx^2+8-3)(raizx^2+8+3)(x-1)(raizx^2+8+3)

Passo 3

No numerador temos uma diferença de quadrados:
(raizx^2+8-3)(raizx^2+8+3)=x^2+8-9=x^2-1
Então a expressão se torna
x^2-1(x-1)(raizx^2+8+3) =(x-1)(x+1)(x-1)(raizx^2+8+3) =x+1raizx^2+8+3
onde já cancelamos o fator (x-1).

Passo 4

Agora o limite não é mais indeterminado e basta substituir x=1:
limxto1x+1raizx^2+8+3 =1+1raiz1+8+3 =23+3 =13

Resposta

tfrac13

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