a) lim x a g(x) não existe, mas g(a) está definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ não existe, mas que $ g(a) $ está definida. Estamos trabalhando com cálculo de limites e continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o limite não existir e como isso se relaciona com a definição da função no ponto $ a $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um limite. O limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é o valor que $ g(x) $ se aproxima à medida que $ x $ chega cada vez mais perto de $ a $. Se esse valor existir e for igual no lado esquerdo e direito de $ a $, dizemos que o limite existe.

Passo 3

Mas o enunciado diz que $ \lim_{x \to a} g(x) $ não existe. Isso pode acontecer de várias formas, como por exemplo:
  • Limites laterais diferentes: o limite pela esquerda é diferente do limite pela direita.
  • Função não está limitada: $ g(x) $ cresce sem limite quando $ x $ se aproxima de $ a $.
  • Oscilação infinita: $ g(x) $ oscila sem se estabilizar perto de $ a $.

Passo 4

Agora, mesmo que o limite não exista, o valor da função em $ a $, ou seja, $ g(a) $, pode estar bem definida. Isso significa que, apesar de $ g(x) $ não se aproximar de um valor específico quando $ x $ se aproxima de $ a $, a função tem um valor específico em $ a $.

Passo 5

Esse cenário é importante porque está relacionado com o conceito de continuidade. Para uma função ser contínua em $ a $, três condições devem ser verdadeiras:
  1. $ g(a) $ está definida.
  2. $ \lim_{x \to a} g(x) $ existe.
  3. $ \lim_{x \to a} g(x) = g(a) $.
No nosso caso, como o limite não existe, a função $ g(x) $ não é contínua em $ a $, mesmo que $ g(a) $ esteja definida.

Resposta

Então, concluímos que, embora o valor de $ g(a) $ esteja definido, o limite $ \lim_{x \to a} g(x) $ não existe, o que significa que a função $ g(x) $ não é contínua no ponto $ a $.

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