Questão 4. (4.0) Decida se as funções são contínuas. Justifique em detalhe.
f(x, y)=cln (x^2+y^2) se(x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define uma função de duas variáveis que vale f(x,y)=ln(x^2+y^2) se (x,y)neq(0,0) e f(0,0)=0. O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis e vamos precisar usar o fato de que composições de funções contínuas são contínuas e calcular o limite quando (x,y)to(0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), temos que x^2+y^2>0. As funções (x,y)mapsto x^2+y^2 e tmapstoln t são contínuas em seus domínios, logo a composição (x,y)mapstoln(x^2+y^2) é contínua em todo ponto com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para verificar a continuidade em (0,0), calculamos o limite
lim(x,y)to(0,0)ln(x^2+y^2)
Como r=raizx^2+y^2to0^+, temos x^2+y^2=r^2to0^+ e portanto ln(x^2+y^2)=2ln rto-infty. Esse limite não é igual a f(0,0)=0 (nem é finito), então a função não é contínua em (0,0).

Resposta

f é contínua para todo ponto com (x,y)≠(0,0) e descontínua em (0,0).

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