Questão 4. (4.0) Decida se as funções são contínuas. Justifique em detalhe.
f(x, y)=e^x^2 y+sen(x y^2)+x^3 y

Passo 1

Vamos recapitular: temos a função de duas variáveis
f(x,y)=e{x2y}+\sin(xy2)+x3y
e o objetivo é decidir se ela é contínua. Isso cai no conteúdo de continuidade de funções de várias variáveis e vamos usar propriedades de soma, produto e composição de funções contínuas.

Passo 2

O domínio natural de f é R^2 e queremos mostrar que f é contínua em um ponto genérico (x_0,y_0)∈R^2. Lembrando a definição: f é contínua em (x_0,y_0) se lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0). Mas na prática usamos teoremas que dizem que soma, produto e composição de funções contínuas são contínuas.

Passo 3

Primeiro, note que g(x,y)=x^2y é contínua em R^2, pois x↦x^2 e y↦y são contínuas e produto x^2·y preserva a continuidade. Como a exponencial t↦e^t é contínua em R, a composição (x,y)↦e{g(x,y)}=e{x^2y} também é contínua em R^2.

Passo 4

Em seguida, h(x,y)=xy^2 também é contínua, já que (x,y)↦x e (x,y)↦y^2 são contínuas e o produto xy^2 mantém a continuidade. Como seno t↦sen(t) é contínuo, a composição (x,y)↦sen(xy^2) é contínua em R^2.

Passo 5

Por fim, o termo x^3y é contínuo porque x↦x^3 e y↦y são contínuas e a operação de produto entrega continuidade. Então todos os três troços e{x2y}, sen(xy^2) e x^3y são contínuos. Como soma de funções contínuas é contínua, concluímos que f é contínua em todo R^2.

Resposta

A função f(x,y)=e{x2y}+\sin(xy2)+x3y é contínua em todo \mathbb{R}^2.

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