Calcule os seguintes limites:
lim x 0 raizx e^cos (pi^2x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0^+raizx,e^cos(pi^2x). Isso cai na parte de limites envolvendo funções oscilatórias e uso do Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Vamos precisar saber que cos(t) é sempre limitado entre -1 e 1 e aplicar isso ao expoente.

Passo 2

Primeiro, note que para todo x>0 vale -1<=cosl(tfracpi^2xr)<=1. Aplicando exponencial, obtemos
e^-1 ;<=; e^cosl(tfracpi^2xr) ;<=; e^1
Multiplicando tudo por raizx>=0, fica
e^-1raizx ;<=; raizx,e^cos(tfracpi^2x) ;<=; e^1raizx

Passo 3

À medida que xto0^+, tanto e^-1raizx quanto e^1raizx tendem a zero. Pelo Teorema do Confronto, a função raizx,e^cos(pi^2x) também converge para zero.

Resposta

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