Calcule os seguintes limites:
lim x infty e^-7 x-2 e^3 x-e^xe^-x+16 e^10 x+2 e^-4 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftye^-7x-2e^3x-e^xe^-x+16e^10x+2e^-4x. O conteúdo aqui é crescimento de funções exponenciais e precisamos reconhecer quais termos dominam quando xtoinfty.

Passo 2

Para grandes valores de x, o termo exponencial com o maior expoente domina. No numerador, os expoentes são -7,3,1, então o dominante é e^3x. No denominador, os expoentes são -1,10,-4, logo o dominante é e^10x.
Agora vamos fatorar o termo dominante de cada parte para simplificar a expressão. Primeiro, no numerador fatoramos e^3x, e no denominador fatoramos e^10x. Veja:
[
\frac{e{-7x}-2e{3x}-e{x}}{e{-x}+16e{10x}+2e{-4x}} = \frac{e{3x}\bigl(e{-10x} - 2 - e{-2x}\bigr)}{e{10x}\bigl(e^{-11x} + 16 + 2e^{-14x}\bigr)} = e{-7x}\cdot\frac{e{-10x} - 2 - e{-2x}}{e{-11x} + 16 + 2e^{-14x}}.
]

Passo 3

Na forma fatorada, quando xtoinfty temos e^-7xto0, enquanto o quociente e^-10x - 2 - e^-2xe^-11x + 16 + 2e^-14x tende a -216 = -tfrac18, um valor finito. Portanto, o produto vai a zero.
Como o fator principal e^-7x anula todo o valor quando xtoinfty, concluímos que o limite vale 0.

Resposta

0

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