Calcule os seguintes limites:
lim x 0 raiz1+x^3 sin (pix)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0raiz1+x^3,sinl(tfracpixr). O conteúdo aqui envolve limites de funções contínuas e funções oscilatórias, além do Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

A função xmapstoraiz1+x^3 é contínua em x=0, pois é composição de polinômio e raiz quadrada. Logo, temos
limxto0raiz1+x^3=raiz1+0=1

Passo 3

A função xmapstosinl(tfracpixr) oscila entre -1 e 1 quando xto0, não tendo limite. Mas podemos usar que para todo xneq0
-1<= sinl(tfracpixr)<= 1

Passo 4

Como raiz1+x^3 é positiva perto de 0, podemos multiplicar a desigualdade anterior sem inverter sinais, obtendo
-raiz1+x^3<= raiz1+x^3,sinl(tfracpixr)<= raiz1+x^3

Passo 5

Agora calculamos os limites das funções de contorno:
limxto0-raiz1+x^3=-1,
limxto0raiz1+x^3=1
Como os limites de cima e de baixo são diferentes, pelo Teorema do Confronto não há como “espremer” nossa função num único valor.

Passo 6

Portanto, o limite limxto0raiz1+x^3,sinl(tfracpixr) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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