Esboce a região
e calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região
delimitada pelas curvas
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região $ D $ delimitada pelas curvas $ y = 2x $, $ y = 0 $ e $ x = 4 $, e depois calcular o volume do sólido formado quando essa região é girada em torno do eixo $ y $. Vamos usar cálculo de volumes de sólidos de revolução para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ D $. A curva $ y = 2x $ é uma reta que passa pela origem e sobe com inclinação 2. A curva $ y = 0 $ é o eixo $ x $. E $ x = 4 $ é uma linha vertical. Então, a região $ D $ é um triângulo formado entre esses três limites.
Passo 3
Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo $ y $, vamos usar o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical e as funções estão descritas em termos de $ x $.
Passo 4
A fórmula do método dos cilindros é:
onde $ x $ é a distância do elemento à linha de rotação (eixo $ y $), e $ f(x) $ é a altura da função.
Passo 5
Nesse caso, $ f(x) = 2x $, que é a nossa função superior. Os limites de integração vão de $ x = 0 $ até $ x = 4 $, já que são os limites horizontais da região $ D $.
Passo 6
Vamos montar a integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar $ 2x^2 $:
Avaliando de 0 a 4:
Passo 8
Multiplicando pelo $ 2\pi $:
Resposta
O volume do sólido gerado é $ \frac{256\pi}{3} $ unidades cúbicas.