Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0+} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável x tende para 0 pela direita (ou seja, x>0 e x\to 0).
  • O numerador é \operatorname{sen}(x) (função seno).
  • O denominador é x^{3}-x^{2} (um polinômio que pode ser escrito como produto).
  • Queremos saber se esse quociente converge para um número finito, diverge para +\infty ou para -\infty.

Passo 2

Reescrevemos o denominador para ver sua estrutura e facilitar manipulações:
x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1).
Então a expressão do limite fica
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{2}(x-1)}.
Para aproveitar o limite clássico \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1, dividimos numerador e denominador por x (com x\neq 0), obtendo
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{x(x-1)}.
Esta forma separa a parte que tem limite conhecido \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} e a parte \frac{1}{x(x-1)} que devemos estudar.

Passo 3

Vamos lembrar e justificar o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Explicação curta e didática: para 0<x<\frac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\cos x < \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} < 1,
que segue das relações \operatorname{sen}x < x < \tan x (essas desigualdades podem ser visualizadas por uma comparação geométrica entre arco e segmentos no círculo unitário). Como \lim_{x\to 0}\cos x=1, pela regra do aperto (squeeze) concluímos que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Em particular, ao aproximar x por 0+ — vindo da direita — também temos
\lim_{x\to 0+}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.

Passo 4

Agora analisamos a outra parte
\frac{1}{x(x-1)}.
Primeiro veja o sinal: para 0<x<1 temos x>0 e x-1<0, logo x(x-1)<0. Assim \frac{1}{x(x-1)} é negativo quando x está perto de 0 pela direita.
Queremos mostrar que \frac{1}{x(x-1)}\to -\infty quando x\to 0+. Para isso, restrinja a análise a 0<x<\tfrac{1}{2}. Nesse intervalo vale 1-x>\tfrac{1}{2}, então
x(1-x)>\frac{x}{2}.
Observando que x(x-1)=-x(1-x), obtemos para 0<x<\tfrac{1}{2}
-x < x(x-1) < -\frac{x}{2}.
Agora tomamos recíprocos; como todas essas quantidades são negativas, as desigualdades se invertem ao tomar reciprocais:
-\frac{1}{x} > \frac{1}{x(x-1)} > -\frac{2}{x}\qquad\text{para }0<x<\tfrac{1}{2}.
À medida que x\to 0+, tanto -\frac{1}{x} quanto -\frac{2}{x} divergem para -\infty. Pelo princípio do aperto (squeeze), a função \frac{1}{x(x-1)} também diverge para -\infty:
\lim_{x\to 0+}\frac{1}{x(x-1)}=-\infty.

Passo 5

Voltando à expressão fatorada
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{x(x-1)},
já sabemos que \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\to 1 quando x\to 0+ e que \frac{1}{x(x-1)}\to -\infty quando x\to 0+. Intuitivamente, um fator que tende a 1 multiplicando outro que tende a -\infty faz o produto tender a -\infty.
Para ser mais rigoroso, escolha \delta>0 pequeno tal que para 0<x<\delta tenhamos \frac{1}{2}<\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}<\frac{3}{2} (isso é possível porque \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\to1). Então, para 0<x<\min\{\delta,\tfrac{1}{2}\},
-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x} < \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{x(x-1)} < -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}.
Ambos os lados das desigualdades tendem a -\infty quando x\to 0+; portanto o produto também tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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