Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável
tende para pela direita (ou seja, e ). - O numerador é
(função seno). - O denominador é
(um polinômio que pode ser escrito como produto). - Queremos saber se esse quociente converge para um número finito, diverge para
ou para .
Passo 2
Reescrevemos o denominador para ver sua estrutura e facilitar manipulações:
Então a expressão do limite fica
Para aproveitar o limite clássico
, dividimos numerador e denominador por
(com
), obtendo
Esta forma separa a parte que tem limite conhecido
e a parte
que devemos estudar.
Passo 3
Vamos lembrar e justificar o limite clássico
Explicação curta e didática: para
vale a desigualdade geométrica
que segue das relações
(essas desigualdades podem ser visualizadas por uma comparação geométrica entre arco e segmentos no círculo unitário). Como
, pela regra do aperto (squeeze) concluímos que
Em particular, ao aproximar
por
— vindo da direita — também temos
Passo 4
Agora analisamos a outra parte
Primeiro veja o sinal: para
temos
e
, logo
. Assim
é negativo quando
está perto de
pela direita.
Queremos mostrar que
quando
. Para isso, restrinja a análise a
. Nesse intervalo vale
, então
Observando que
, obtemos para
Agora tomamos recíprocos; como todas essas quantidades são negativas, as desigualdades se invertem ao tomar reciprocais:
À medida que
, tanto
quanto
divergem para
. Pelo princípio do aperto (squeeze), a função
também diverge para
:
Passo 5
Voltando à expressão fatorada
já sabemos que
quando
e que
quando
. Intuitivamente, um fator que tende a
multiplicando outro que tende a
faz o produto tender a
.
Para ser mais rigoroso, escolha
pequeno tal que para
tenhamos
(isso é possível porque
). Então, para
,
Ambos os lados das desigualdades tendem a
quando
; portanto o produto também tende a
.