Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+\operatorname{sen} x)^{1 / x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0} (1+\operatorname{sen} x)^{1/x}.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{quando }x\to 0\text{, temos }\operatorname{sen}x\to 0\text{ e }1+\operatorname{sen}x\to 1.
Portanto a expressão é do tipo indeterminado \,1^{\infty}. Também é importante notar que, para x suficientemente próximo de 0, 1+\operatorname{sen}x>0, então o logaritmo natural está bem definido na vizinhança de 0. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Definimos o limite procurado como
L=\lim_{x\to 0}(1+\operatorname{sen}x)^{1/x}.
Como o argumento é positivo perto de 0, podemos tomar o logaritmo natural e trocar o limite com o logaritmo (fazendo a transformação padrão para formas 1^{\infty}):
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\ln\!\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr).
A ideia agora é calcular o limite à direita e depois usar L=\mathrm{e}^{\ln L}.

Passo 3

Manipulamos a expressão do logaritmo para colocá-la como produto de dois fatores cujos limites conhecemos:
\frac{1}{x}\ln\!\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr) = \frac{\ln\!\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr)}{\operatorname{sen}x}\cdot\frac{\operatorname{sen}x}{x}.
Isso é só uma reescrita algébrica válida sempre que \operatorname{sen}x\neq 0; para o limite consideramos valores próximos de 0 (excluindo possivelmente x=0), então é legítimo.

Passo 4

Calculamos o segundo fator
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.
Explicação didática: este é um limite clássico. Pode-se prová-lo usando a regra de l’Hôpital (já que numerador e denominador vão a 0): derivada de \operatorname{sen}x é \cos x e derivada de x é 1, então o limite é \cos 0=1. Também pode ser visto pela aproximação \operatorname{sen}x\sim x para x pequeno.

Passo 5

Calculamos o primeiro fator
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr)}{\operatorname{sen}x}.
Para isso fazemos a substituição u=\operatorname{sen}x. Quando x\to 0 temos u\to 0, logo
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+\operatorname{sen}x)}{\operatorname{sen}x} = \lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Esse último limite é 1. Justificativa: aplica-se l’Hôpital (numerador e denominador tendem a 0); a derivada de \ln(1+u) é \tfrac{1}{1+u} e a derivada de u é 1, então o limite é \tfrac{1}{1+0}=1. Também pode ser visto pela expansão \ln(1+u)=u+o(u).

Passo 6

Com os dois fatores calculados, o produto tem limite
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr)}{\operatorname{sen}x}\cdot\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1\cdot 1=1.
Portanto
L=\mathrm{e}^{\ln L}=\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}.

Resposta

\mathrm{e}

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