Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
Portanto a expressão é do tipo indeterminado
. Também é importante notar que, para
suficientemente próximo de
,
, então o logaritmo natural está bem definido na vizinhança de
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Definimos o limite procurado como
Como o argumento é positivo perto de
, podemos tomar o logaritmo natural e trocar o limite com o logaritmo (fazendo a transformação padrão para formas
):
A ideia agora é calcular o limite à direita e depois usar
.
Passo 3
Manipulamos a expressão do logaritmo para colocá-la como produto de dois fatores cujos limites conhecemos:
Isso é só uma reescrita algébrica válida sempre que
; para o limite consideramos valores próximos de
(excluindo possivelmente
), então é legítimo.
Passo 4
Calculamos o segundo fator
Explicação didática: este é um limite clássico. Pode-se prová-lo usando a regra de l’Hôpital (já que numerador e denominador vão a
): derivada de
é
e derivada de
é
, então o limite é
. Também pode ser visto pela aproximação
para
pequeno.
Passo 5
Calculamos o primeiro fator
Para isso fazemos a substituição
. Quando
temos
, logo
Esse último limite é
. Justificativa: aplica-se l’Hôpital (numerador e denominador tendem a
); a derivada de
é
e a derivada de
é
, então o limite é
. Também pode ser visto pela expansão
.
Passo 6
Com os dois fatores calculados, o produto tem limite
Portanto