Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} x-\sqrt{x+5}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(x-\sqrt{x+5}\bigr).
Informações dadas: a expressão é a diferença entre a função x (que cresce sem limite quando x\to\infty) e a função \sqrt{x+5} (que também cresce, mas mais devagar). A intenção é descobrir se a diferença tende a um número finito, a +\infty ou a outro comportamento quando x\to\infty.

Passo 2

Vamos comparar as taxas de crescimento das duas parcelas. Uma maneira simples e elegante é dividir a expressão por x (que sabemos que tende a \infty) e estudar o comportamento do quociente
\frac{x-\sqrt{x+5}}{x}.
Se esse quociente tender a 1, por exemplo, então a expressão original tem crescimento assintótico parecido com x e, como x\to\infty, a diferença tenderá a \infty. Agora vamos calcular esse quociente.

Passo 3

Calculemos a parcela negativa do quociente:
\frac{\sqrt{x+5}}{x}.
Manipulamos essa fração para ver seu comportamento quando x\to\infty. Escrevemos
\frac{\sqrt{x+5}}{x}=\frac{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\tfrac{5}{x}}}{x}=\frac{\sqrt{1+\tfrac{5}{x}}}{\sqrt{x}}.
Aqui usei a propriedade \sqrt{x+5}=\sqrt{x}\sqrt{1+\tfrac{5}{x}}. Agora, quando x\to\infty temos \sqrt{1+\tfrac{5}{x}}\to1 porque \tfrac{5}{x}\to0, e \tfrac{1}{\sqrt{x}}\to0. Pelo produto de limites,
\frac{\sqrt{1+\tfrac{5}{x}}}{\sqrt{x}}\longrightarrow 1\cdot 0 = 0.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+5}}{x}=0.

Passo 4

Voltando ao quociente do Passo 2, usando o resultado do Passo 3:
\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sqrt{x+5}}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{\sqrt{x+5}}{x}\right)=1-0=1.
Isto significa que, para x grande, x-\sqrt{x+5} comporta-se como 1\cdot x (ou seja, cresce linearmente com x). Como x\to\infty, uma quantidade que é aproximadamente x também tende a \infty. Mais formalmente: se \frac{f(x)}{x}\to1 e x\to\infty, então f(x)\to\infty.

Passo 5

Como confirmação alternativa (útil em prova): multiplicando por conjugado,
x-\sqrt{x+5}=\frac{\bigl(x-\sqrt{x+5}\bigr)\bigl(x+\sqrt{x+5}\bigr)}{x+\sqrt{x+5}}=\frac{x^{2}-(x+5)}{x+\sqrt{x+5}}=\frac{x^{2}-x-5}{x+\sqrt{x+5}}.
Dividindo numerador e denominador por x obtemos
\frac{x-\tfrac{1}{ }-\tfrac{5}{x}}{1+\dfrac{\sqrt{x+5}}{x}},
onde o numerador cresce como x e o denominador tende a 1; logo o quociente tende a \infty. Isso confirma o resultado do método anterior.

Resposta

\infty

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