Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações dadas: a expressão é a diferença entre a função
(que cresce sem limite quando
) e a função
(que também cresce, mas mais devagar). A intenção é descobrir se a diferença tende a um número finito, a
ou a outro comportamento quando
.
Passo 2
Vamos comparar as taxas de crescimento das duas parcelas. Uma maneira simples e elegante é dividir a expressão por
(que sabemos que tende a
) e estudar o comportamento do quociente
Se esse quociente tender a
, por exemplo, então a expressão original tem crescimento assintótico parecido com
e, como
, a diferença tenderá a
. Agora vamos calcular esse quociente.
Passo 3
Calculemos a parcela negativa do quociente:
Manipulamos essa fração para ver seu comportamento quando
. Escrevemos
Aqui usei a propriedade
. Agora, quando
temos
porque
, e
. Pelo produto de limites,
Portanto
Passo 4
Voltando ao quociente do Passo 2, usando o resultado do Passo 3:
Isto significa que, para
grande,
comporta-se como
(ou seja, cresce linearmente com
). Como
, uma quantidade que é aproximadamente
também tende a
. Mais formalmente: se
e
, então
.
Passo 5
Como confirmação alternativa (útil em prova): multiplicando por conjugado,
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
onde o numerador cresce como
e o denominador tende a
; logo o quociente tende a
. Isso confirma o resultado do método anterior.