Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a infinito da expressão
\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}.
Informações dadas:
\text{Expressão: }\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1},\qquad x\to\infty.ã
Pergunta: calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}\big).

Passo 2

Para lidar com diferença de raízes, uma técnica padrão é multiplicar e dividir pela conjugada. Defina
A=\sqrt{x+\sqrt{x}},\qquad B=\sqrt{x-1}.
Multiplicando por \dfrac{A+B}{A+B} obtemos
A-B=\frac{A^2-B^2}{A+B}.
Agora calcule A^2-B^2:
A^2-B^2=(x+\sqrt{x})-(x-1)=\sqrt{x}+1.
Portanto a expressão original pode ser escrita como
\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}.

Passo 3

Para entender o comportamento quando x\to\infty é útil usar a substituição \displaystyle t=\sqrt{x}. Então t\to\infty quando x\to\infty, e x=t^2. Substituindo na fração obtida:
\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}=\frac{t+1}{\sqrt{t^2+t}+\sqrt{t^2-1}}.

Passo 4

No denominador podemos fatorar t dentro de cada raiz (pois t>0 para x grande):
\sqrt{t^2+t}=t\sqrt{1+\frac{1}{t}},\qquad \sqrt{t^2-1}=t\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}.
Assim a fração fica
\frac{t+1}{t\Big(\sqrt{1+\frac{1}{t}}+\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}\Big)} =\frac{1+\frac{1}{t}}{\sqrt{1+\frac{1}{t}}+\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}}.

Passo 5

Agora use o fato de que as funções \sqrt{\cdot} e as operações algébricas são contínuas: quando t\to\infty temos \frac{1}{t}\to0 e \frac{1}{t^2}\to0. Então podemos substituir esses limites nas expressões contínuas:
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)=1,\qquad \lim_{t\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{t}}=1,\qquad \lim_{t\to\infty}\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}=1.
Portanto o limite da fração é
\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido: a razão pela qual racionalizamos e depois dividimos por \sqrt{x} (ou usamos t=\sqrt{x}) é que cada raiz tem ordem assintótica \sqrt{x}; a diferença entre duas quantidades da mesma ordem costuma ser obtida isolando essa ordem comum. Outra maneira equivalente seria usar uma expansão assintótica da raiz, mas a racionalização é mais direta e segura em provas sem cálculo de série.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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