Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a infinito da expressão
Informações dadas:
Pergunta: calcular
.
Passo 2
Para lidar com diferença de raízes, uma técnica padrão é multiplicar e dividir pela conjugada. Defina
Multiplicando por
obtemos
Agora calcule
:
Portanto a expressão original pode ser escrita como
Passo 3
Para entender o comportamento quando
é útil usar a substituição
. Então
quando
, e
. Substituindo na fração obtida:
Passo 4
No denominador podemos fatorar
dentro de cada raiz (pois
para
grande):
Assim a fração fica
Passo 5
Agora use o fato de que as funções
e as operações algébricas são contínuas: quando
temos
e
. Então podemos substituir esses limites nas expressões contínuas:
Portanto o limite da fração é
Passo 6
Comentário pedagógico rápido: a razão pela qual racionalizamos e depois dividimos por
(ou usamos
) é que cada raiz tem ordem assintótica
; a diferença entre duas quantidades da mesma ordem costuma ser obtida isolando essa ordem comum. Outra maneira equivalente seria usar uma expansão assintótica da raiz, mas a racionalização é mais direta e segura em provas sem cálculo de série.