Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{n}-(1+n x)}{x^{2}+x^{n}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{n} - \bigl(1 + n\,x\bigr)}{x^{2} + x^{n}}.
O conteúdo principal aqui é usar a expansão binomial (ou série de Taylor) para aproximar o numerador em potências de x e depois comparar as ordens de x que aparecem no denominador.

Passo 2

Expandimos (1+x)^{n} em torno de x=0 até a ordem x^{2}. Pela fórmula do binômio,
(1+x)^{n} = 1 + n\,x + \frac{n(n-1)}{2}\,x^{2} + O(x^{3}).
Logo,
(1+x)^{n} - \bigl(1 + n\,x\bigr) = \frac{n(n-1)}{2}\,x^{2} + O(x^{3}).

Passo 3

No denominador temos x^{2} + x^{n}. Para x\to0, o termo dominante depende de n:
  • Se n>2, então x^{n}=o(x^{2}) e o termo principal é x^{2}.
  • Se n=2, então x^{2}+x^{2}=2\,x^{2}.
  • Se n<2, então x^{n} domina x^{2}, pois x^{n}=o(x^{2}) para n<2 (em particular para n=1 o numerador cai a zero de ordem superior).

Passo 4

Agora avaliamos o quociente levando em conta as ordens:
  1. Para n>2:
\frac{(1+x)^{n} - (1+n x)}{x^{2}+x^{n}} \sim \frac{\tfrac{n(n-1)}{2}\,x^{2}}{x^{2}} = \frac{n(n-1)}{2}.
  1. Para n=2:
(1+x)^{2} - (1+2x) = x^{2}, \quad x^{2}+x^{2}=2x^{2},
então
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{2x^{2}} = \frac12.
  1. Para n<2 (caso mais simples é n=1, e para 0<n<2 a ordem do numerador é x^{2} e do denominador x^{n}, com 2-n>0):
\frac{\tfrac{n(n-1)}{2}\,x^{2}+O(x^{3})}{x^{n}+o(x^{n})} \sim C\,x^{2-n}\;\longrightarrow\;0.
No caso n=1 o numerador é exatamente zero e o limite é 0.

Resposta

Para n<2: 0
Para n=2: \tfrac12
Para n>2: \dfrac{n(n-1)}{2}

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