Calcule os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
O conteúdo principal aqui é usar a expansão binomial (ou série de Taylor) para aproximar o numerador em potências de
e depois comparar as ordens de
que aparecem no denominador.
Passo 2
Expandimos
em torno de
até a ordem
. Pela fórmula do binômio,
Logo,
Passo 3
No denominador temos
. Para
, o termo dominante depende de
:
- Se
, então e o termo principal é . - Se
, então . - Se
, então domina , pois para (em particular para o numerador cai a zero de ordem superior).
Passo 4
Agora avaliamos o quociente levando em conta as ordens:
- Para
:
- Para
:
então
- Para
(caso mais simples é , e para a ordem do numerador é e do denominador , com ):
No caso
o numerador é exatamente zero e o limite é
.
Resposta
Para
:
Para :
Para :
Para
Para