Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\lfloor x\rfloor}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite unilateral
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\lfloor x\rfloor}{x+1}.
Informações relevantes dadas:
  • A notação \lim_{x\to 0^{+}} indica que x se aproxima de 0 pela direita (valores positivos, por exemplo 0{,}1,0{,}01,\dots).
  • \lfloor x\rfloor é a função piso (parte inteira inferior), isto é, o maior inteiro menor ou igual a x.

Passo 2

Entender o comportamento de \lfloor x\rfloor perto de 0 pela direita. Para qualquer x com
0 < x < 1
valemos que 0 é um inteiro menor ou igual a x e não existe inteiro positivo menor ou igual a x. Portanto, para todo x em (0,1) vale
\lfloor x\rfloor = 0.
Exemplo concreto: se x=0{,}3 então \lfloor 0{,}3\rfloor=0.

Passo 3

Substituindo o valor de \lfloor x\rfloor na expressão para 0<x<1, obtemos
\frac{\lfloor x\rfloor}{x+1}=\frac{0}{x+1}=0,
pois o denominador x+1 é estritamente positivo perto de 0 (tende a 1) e, portanto, a fração é bem definida e igual a 0 nessa vizinhança.

Passo 4

Como existe um intervalo (0,\delta) (por exemplo \delta=1) em que a expressão é identicamente 0, o limite quando x se aproxima de 0 pela direita é simplesmente esse valor constante:
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\lfloor x\rfloor}{x+1}=0.

Resposta

0

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