Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2^{-}}(x+\lfloor x\rfloor)

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte limite lateral:
\lim_{x \to 2^{-}} \bigl(x + \lfloor x \rfloor\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve a parte inteira (piso) \lfloor x \rfloor.
  • O limite é pela esquerda em x=2, ou seja, considera valores de x menores que 2 que se aproximam de 2.

Passo 2

Vamos entender o que significa o limite pela esquerda \lim_{x\to 2^{-}}. Significa que só olhamos para valores de x tais que x<2 e que se aproximam arbitrariamente de 2. Exemplos de sequências que representam essa aproximação são x_n = 2 - \tfrac{1}{n} ou x_n = 1,9,\\\ 1,99,\\\ 1,999,\ldots. Todos esses x ficam dentro do intervalo (1,2) quando estão suficientemente próximos de 2.

Passo 3

Definição e propriedades da função piso usada aqui: a função piso \lfloor x \rfloor é o maior inteiro menor ou igual a x. Exemplos para fixar a ideia:
  • \lfloor 1,9 \rfloor = 1.
  • \lfloor 1,999 \rfloor = 1.
  • \lfloor 2 \rfloor = 2.
    Em particular, para qualquer x com 1 \le x < 2 vale \lfloor x \rfloor = 1.

Passo 4

Como estamos calculando o limite quando x\to 2^{-}, todos os x suficientemente próximos de 2 pela esquerda satisfazem 1 \le x < 2. Logo, nesses x vale \lfloor x \rfloor = 1. Portanto, na vizinhança à esquerda de 2 a função se simplifica para
x + \lfloor x \rfloor = x + 1.

Passo 5

Agora calculamos o limite usando a expressão simplificada. A função x+1 é contínua, então o limite de x+1 quando x\to 2^{-} é o mesmo que avalia-la em 2:
\lim_{x\to 2^{-}} \bigl(x + \lfloor x \rfloor\bigr) = \lim_{x\to 2^{-}} (x+1) = \lim_{x\to 2^{-}} x + 1 = 2 + 1 = 3.
Como checagem rápida: para x=1,9 obtemos 1,9+\lfloor 1,9\rfloor=1,9+1=2,9, para x=1,99 obtemos 2,99, que se aproximam de 3.

Resposta

3

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