Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite unilateral
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto de aproximação é
pela direita (isso é o que significa o expoente em ): estamos interessados em valores de maiores que e que se aproximam de .
Passo 2
Entender o que é
(a função parte inteira, ou piso).
- Por definição,
é o maior inteiro menor ou igual a . - Exemplos para fixar a ideia:
-
. -
. -
.
-
- Observação importante para este problema: para todo
com vale , porque o maior inteiro menor ou igual a qualquer número entre e (excluindo ) é exatamente .
Passo 3
Usar a informação do passo anterior para simplificar a expressão quando
.
- Ao considerar
que se aproxima de pela direita, podemos tomar na vizinhança . Nessa vizinhança temos . - Logo, para
suficientemente próximo de por valores maiores, a função fica
Passo 4
Calcular o limite da função simplificada.
- Como perto de
pela direita a função é , temos - A função
é contínua, então o limite é o valor da função em : - (Se quiser ver uma prova ε–δ curta: para qualquer
escolha . Se então e , logo o limite é .)
Passo 5
Comentário didático rápido (útil para a prova): o limite à esquerda é diferente. Para
temos
e então
. Isso mostra que a função tem descontinuidade do tipo salto em
.