Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2^{+}}(x+\lfloor x\rfloor)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite unilateral
\lim_{x\to 2^{+}}\bigl(x+\lfloor x\rfloor\bigr).
Informações dadas:
  • A expressão é x+\lfloor x\rfloor.
  • O ponto de aproximação é 2 pela direita (isso é o que significa o expoente + em 2^{+}): estamos interessados em valores de x maiores que 2 e que se aproximam de 2.

Passo 2

Entender o que é \lfloor x\rfloor (a função parte inteira, ou piso).
  • Por definição, \lfloor x\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a x.
  • Exemplos para fixar a ideia:
    • \lfloor 2\rfloor=2.
    • \lfloor 2{,}1\rfloor=2.
    • \lfloor 1{,}9\rfloor=1.
  • Observação importante para este problema: para todo x com 2<x<3vale \lfloor x\rfloor=2, porque o maior inteiro menor ou igual a qualquer número entre 2 e 3 (excluindo 3) é exatamente 2.

Passo 3

Usar a informação do passo anterior para simplificar a expressão quando x\to2^{+}.
  • Ao considerar x que se aproxima de 2 pela direita, podemos tomar x na vizinhança (2,3). Nessa vizinhança temos \lfloor x\rfloor=2.
  • Logo, para x suficientemente próximo de 2 por valores maiores, a função fica x+\lfloor x\rfloor = x+2.

Passo 4

Calcular o limite da função simplificada.
  • Como perto de 2 pela direita a função é x+2, temos \lim_{x\to 2^{+}}\bigl(x+\lfloor x\rfloor\bigr)=\lim_{x\to 2^{+}}(x+2).
  • A função x\mapsto x+2 é contínua, então o limite é o valor da função em x=2: \lim_{x\to 2^{+}}(x+2)=2+2=4.
  • (Se quiser ver uma prova ε–δ curta: para qualquer \varepsilon>0 escolha \delta=\min(1,\varepsilon). Se 0<x-2<\delta então 2<x<3 e |(x+2)-4|=|x-2|<\delta\le\varepsilon, logo o limite é 4.)

Passo 5

Comentário didático rápido (útil para a prova): o limite à esquerda é diferente. Para x\to2^{-} temos \lfloor x\rfloor=1 e então \lim_{x\to2^{-}}(x+\lfloor x\rfloor)=3. Isso mostra que a função tem descontinuidade do tipo salto em x=2.

Resposta

4

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