Prove, usando a definição formal, que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição formal de limite, que
As informações relevantes do problema são:
- A função considerada é
, que está definida para todo . - O ponto onde a variável se aproxima é
. - O objetivo é provar que
tende a quando tende a , isto é, que fica arbitrariamente negativo quando se aproxima de (mas não igual a ).
Passo 2
Vou enunciar a definição formal que usarei (essa é a “tradução” exata do que significa limite igual a
).
Definição: Dizemos que
se, para todo número real
, existe
tal que, sempre que
, vale
.
Explicando em palavras: dado qualquer número negativo
(por exemplo
,
,
), devemos ser capazes de encontrar uma distância
tal que, para todo
diferente de
mas dentro dessa distância, o valor da função fique ainda menor que
(isto é, mais negativo que
).
Passo 3
Analisar a função
.
- Para todo
temos , portanto o denominador é positivo. - O numerador é
, número negativo fixo. - Logo, para todo
o quociente é negativo. Isso confirma que faz sentido falar que os valores podem ficar arbitrariamente negativos à medida que fica pequeno.
Passo 4
Agora aplico a definição. Sejam dados arbitrariamente
. Quero encontrar
tal que
Vou resolver a desigualdade para obter uma condição sobre
que garanta
.
Começo com
Como
, posso multiplicar ambos os lados por
sem inverter o sentido:
Agora, como
, ao dividir por
(número negativo) o sentido da desigualdade se inverte; assim:
Note que
porque ambos
e
são negativos.
Portanto a desigualdade desejada
é equivalente à condição
Passo 5
Escolho
com base na condição encontrada. Como
, basta tomar, por exemplo,
(Se preferir, pode tomar
para garantir
, mas não é necessário aqui.)
Agora verifico a implicação exigida pela definição. Suponha
. Então, usando a escolha de
,
Multiplicando ambos os lados por
(lembre que
) inverte-se a desigualdade:
Dividindo por
obtemos
ou seja
como queríamos.
Passo 6
Concluímos que, para todo
existe
(por exemplo
) tal que
implica
. Isso é exatamente a definição formal de