Prove, usando a definição formal, que:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-5}{|x-1|}=-\infty

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição formal de limite, que
\lim_{x\to 1}\frac{-5}{|x-1|}=-\infty.
As informações relevantes do problema são:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{-5}{|x-1|}, que está definida para todo x\neq 1.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=1.
  • O objetivo é provar que f(x) tende a -\infty quando x tende a 1, isto é, que f(x) fica arbitrariamente negativo quando x se aproxima de 1 (mas não igual a 1).

Passo 2

Vou enunciar a definição formal que usarei (essa é a “tradução” exata do que significa limite igual a -\infty).
Definição: Dizemos que
\lim_{x\to a} g(x) = -\infty
se, para todo número real M<0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, vale g(x)<M.
Explicando em palavras: dado qualquer número negativo M (por exemplo -1000, -10, -0{,}1), devemos ser capazes de encontrar uma distância \delta tal que, para todo x diferente de a mas dentro dessa distância, o valor da função fique ainda menor que M (isto é, mais negativo que M).

Passo 3

Analisar a função f(x)=\dfrac{-5}{|x-1|}.
  • Para todo x\neq 1 temos |x-1|>0, portanto o denominador é positivo.
  • O numerador é -5, número negativo fixo.
  • Logo, para todo x\neq 1 o quociente \dfrac{-5}{|x-1|} é negativo. Isso confirma que faz sentido falar que os valores podem ficar arbitrariamente negativos à medida que |x-1| fica pequeno.

Passo 4

Agora aplico a definição. Sejam dados arbitrariamente M<0. Quero encontrar \delta>0 tal que
0<|x-1|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{-5}{|x-1|}<M.
Vou resolver a desigualdade para obter uma condição sobre |x-1| que garanta \dfrac{-5}{|x-1|}<M.
Começo com
\frac{-5}{|x-1|}<M.
Como |x-1|>0, posso multiplicar ambos os lados por |x-1| sem inverter o sentido:
-5 < M\,|x-1|.
Agora, como M<0, ao dividir por M (número negativo) o sentido da desigualdade se inverte; assim:
\frac{-5}{M} > |x-1|.
Note que \dfrac{-5}{M}>0 porque ambos -5 e M são negativos.
Portanto a desigualdade desejada \dfrac{-5}{|x-1|}<M é equivalente à condição
|x-1| < \frac{-5}{M}.

Passo 5

Escolho \delta com base na condição encontrada. Como \dfrac{-5}{M}>0, basta tomar, por exemplo,
\delta = \frac{-5}{M}.
(Se preferir, pode tomar \delta=\min\{1,\,-5/M\} para garantir \delta\le 1, mas não é necessário aqui.)
Agora verifico a implicação exigida pela definição. Suponha 0<|x-1|<\delta. Então, usando a escolha de \delta,
|x-1| < \frac{-5}{M}.
Multiplicando ambos os lados por M (lembre que M<0) inverte-se a desigualdade:
M\,|x-1| > -5.
Dividindo por |x-1|>0 obtemos
M > \frac{-5}{|x-1|},
ou seja
\frac{-5}{|x-1|} < M,
como queríamos.

Passo 6

Concluímos que, para todo M<0 existe \delta>0 (por exemplo \delta=-5/M) tal que 0<|x-1|<\delta implica \dfrac{-5}{|x-1|}<M. Isso é exatamente a definição formal de
\lim_{x\to 1}\frac{-5}{|x-1|}=-\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{-5}{|x-1|}=-\infty

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