1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{2}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-e^{2}}{x-2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{e^{x}-e^{2}}{x-2}.
  • O ponto onde x se aproxima é x\to 0.
  • e é a base dos logaritmos naturais; e^{2} é uma constante (aproximadamente 7{,}389\ldots).

Passo 2

Vamos observar o comportamento do denominador quando x\to 0. Calcular o limite do denominador:
\lim_{x\to 0}(x-2)=0-2=-2.
Como esse limite é diferente de zero ( -2\neq 0), podemos usar a propriedade de limites que permite separar numerador e denominador: se \lim_{x\to a} g(x)=L com L\neq 0 e \lim_{x\to a} f(x)=M, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{M}{L}.
Aqui g(x)=x-2 e L=-2.

Passo 3

Agora calculemos o limite do numerador quando x\to 0:
\lim_{x\to 0}\bigl(e^{x}-e^{2}\bigr)=\lim_{x\to 0}e^{x}-e^{2}.
Usamos que a função exponencial é contínua: \lim_{x\to 0}e^{x}=e^{0}=1. Portanto
\lim_{x\to 0}\bigl(e^{x}-e^{2}\bigr)=1-e^{2}.

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo 2, o limite pedido é o quociente dos limites obtidos:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-e^{2}}{x-2}=\frac{1-e^{2}}{-2}.
Simplificando o sinal:
\frac{1-e^{2}}{-2}=\frac{e^{2}-1}{2}.

Passo 5

Comentário didático rápido (para lembrar na prova): quando o denominador tende a um número não nulo, dá para calcular o limite do quociente dividindo o limite do numerador pelo limite do denominador. Aqui foi simples porque \lim_{x\to 0} (x-2)=-2\neq 0 e \lim_{x\to 0} e^{x}=1. Não foi necessário usar l’Hôpital nem manipulações complicadas.

Resposta

\dfrac{e^{2}-1}{2}

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