- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão a ser analisada é
. - O ponto onde
se aproxima é . -
é a base dos logaritmos naturais; é uma constante (aproximadamente ).
Passo 2
Vamos observar o comportamento do denominador quando
. Calcular o limite do denominador:
Como esse limite é diferente de zero (
), podemos usar a propriedade de limites que permite separar numerador e denominador: se
com
e
, então
Aqui
e
.
Passo 3
Agora calculemos o limite do numerador quando
:
Usamos que a função exponencial é contínua:
. Portanto
Passo 4
Aplicando a propriedade do passo 2, o limite pedido é o quociente dos limites obtidos:
Simplificando o sinal:
Passo 5
Comentário didático rápido (para lembrar na prova): quando o denominador tende a um número não nulo, dá para calcular o limite do quociente dividindo o limite do numerador pelo limite do denominador. Aqui foi simples porque
e
. Não foi necessário usar l’Hôpital nem manipulações complicadas.