- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde
é um parâmetro (uma constante). Vou listar o que temos e o que é importante notar:
- A expressão depende de
(que tende a ) e de (fixo). - Ao avaliar o limite pode ocorrer divisão por zero se
tender a . Quando , . Então há duas situações a separar: e . - O objetivo é obter o valor do limite para cada caso relevante.
Passo 2
Caso
: justifique uso de substituição direta.
- Quando
temos . A função exponencial é contínua em todo lugar, portanto o numerador também é contínuo em . - Se o denominador tende a um número não nulo, podemos tomar substituição direta no quociente (continuidade do numerador e do denominador e denominador não nulo no ponto-limite).
- Aplicando substituição direta:
- Simplificando o sinal:
Passo 3
Caso
: o quociente é do tipo
, então precisamos de um argumento limite/derivada.
- Substituindo
na expressão obtemos
que é um limite indeterminado do tipo
.
- Uma boa estratégia é usar a reescrita
. Isso transforma o limite em termos da função exponencial natural, cuja propriedade básica é conhecida:
- Faça a mudança de variável
. Quando tem-se e
- Tomando limite
e usando resulta
- Comentário didático: esse limite é exatamente a derivada de
em , já que e em dá .
Passo 4
Resumo e verificação rápida:
- Para
a substituição direta foi válida e deu . - Para
o limite é . - Observação de consistência: a expressão
, vista como função de , tende para quando , então os resultados são compatíveis (mas para há que avaliar o limite direto, que demos no Passo 3).
Resposta
Se
:
Se :
Se