1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x}-3^{a}}{x-a}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{3^{x}-3^{a}}{x-a},
onde a é um parâmetro (uma constante). Vou listar o que temos e o que é importante notar:
  • A expressão depende de x (que tende a 0) e de a (fixo).
  • Ao avaliar o limite pode ocorrer divisão por zero se x-a tender a 0. Quando x\to0, x-a\to -a. Então há duas situações a separar: \,a\neq0 e \,a=0.
  • O objetivo é obter o valor do limite para cada caso relevante.

Passo 2

Caso \,a\neq0: justifique uso de substituição direta.
  • Quando \,a\neq0 temos \lim_{x\to0}(x-a)=-a\neq0. A função exponencial x\mapsto 3^{x} é contínua em todo lugar, portanto o numerador \,3^{x}-3^{a} também é contínuo em x.
  • Se o denominador tende a um número não nulo, podemos tomar substituição direta no quociente (continuidade do numerador e do denominador e denominador não nulo no ponto-limite).
  • Aplicando substituição direta:
\lim_{x\to0}\frac{3^{x}-3^{a}}{x-a} =\frac{3^{0}-3^{a}}{0-a} =\frac{1-3^{a}}{-a}.
  • Simplificando o sinal:
\frac{1-3^{a}}{-a}=\frac{3^{a}-1}{a}.

Passo 3

Caso \,a=0: o quociente é do tipo \tfrac{0}{0}, então precisamos de um argumento limite/derivada.
  • Substituindo a=0 na expressão obtemos
\lim_{x\to0}\frac{3^{x}-3^{0}}{x-0} =\lim_{x\to0}\frac{3^{x}-1}{x},
que é um limite indeterminado do tipo \tfrac{0}{0}.
  • Uma boa estratégia é usar a reescrita 3^{x}=e^{x\ln 3}. Isso transforma o limite em termos da função exponencial natural, cuja propriedade básica é conhecida:
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
  • Faça a mudança de variável t=x\ln 3. Quando x\to0 tem-se t\to0 e
\frac{3^{x}-1}{x} =\frac{e^{x\ln3}-1}{x} =\frac{e^{t}-1}{t}\cdot\frac{t}{x} =\frac{e^{t}-1}{t}\cdot\ln 3.
  • Tomando limite t\to0 e usando \lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1 resulta
\lim_{x\to0}\frac{3^{x}-1}{x}=\ln 3.
  • Comentário didático: esse limite é exatamente a derivada de 3^{x} em x=0, já que \frac{d}{dx}3^{x}=3^{x}\ln 3 e em x=0 \ln3.

Passo 4

Resumo e verificação rápida:
  • Para \,a\neq0 a substituição direta foi válida e deu \dfrac{3^{a}-1}{a}.
  • Para \,a=0 o limite é \ln 3.
  • Observação de consistência: a expressão \dfrac{3^{a}-1}{a}, vista como função de a, tende para \ln3 quando a\to0, então os resultados são compatíveis (mas para a=0 há que avaliar o limite direto, que demos no Passo 3).

Resposta

Se a\neq0: \dfrac{3^{a}-1}{a}
Se a=0: \ln 3

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