Determine o valor máximo e o valor mínimo das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
Determine o valor máximo e o valor mínimo de
em
, onde:
e
Determine o valor máximo e o valor mínimo de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor máximo e o valor mínimo da função
no conjunto
Informações relevantes:
- A restrição
fixa os pontos na superfície da esfera de raio . - A desigualdade
corta a esfera por um semiespaço, definindo uma “calota” esférica; o conjunto é a interseção da superfície esférica com esse semiespaço (é fechado e limitado). - Como
é compacto e é contínua, existem pontos em onde atinge mínimo e máximo globais. - O problema exige achar esses extremos e classificá-los (máximo local / mínimo local / ponto de sela). A resolução seguirá buscando pontos críticos na parte interior relativa de
(isto é, pontos da esfera com ) via multiplicadores de Lagrange com uma restrição, e depois analisando a fronteira (duas restrições: esfera e plano).
Passo 2
Método para interior (restrição única): usamos multiplicadores de Lagrange com a restrição
Formulamos
. Primeiro calculamos os gradientes:
As equações de Lagrange são
juntamente com
.
Vou simplificar dividindo por nas duas primeiras e reescrever a terceira dividida por
:
Vou simplificar dividindo por
Passo 3
Resolver o sistema das equações acima (casos):
-
Caso
(ou seja ):
das duas primeiras seguee . Pela esfera , então . Pela terceira equação com temos . Logo obtemos o ponto Verificação da desigualdade:, logo . Este é um candidato interior (na esfera, e satisfaz , portanto ponto interior relativo a ). -
Caso
:
das duas primeiras podemos escrevere . Substituindo uma na outra obtemos , isto é => . Assim dando ou . -
Se
: das duas primeiras segue . Pela terceira: . Pela esfera . Isso leva ao ponto , que falha na desigualdade (pois é falso). Portanto e é descartado. -
Se
: das primeiras vem . Pela terceira: . Pela esfera:
Assim, . Temos dois pontos: Verificação da desigualdade: - Para
: , logo . - Para
: , logo .
-
Concluímos que, entre os candidatos da restrição única, os pontos em
são
e
.
Passo 4
Avaliar
em
e
.
- Em
:
- Em
:
calculemos passo a passo (tudo em frações):
Somando:
Passo 5
Agora tratamos a fronteira do conjunto
, onde a desigualdade fica ativa:
(além da esfera). Temos agora duas restrições:
Usamos multiplicadores com duas variáveis
e escrevemos
Recordando
,
,
, obtemos o sistema
acompanhado por
e
.
Subtraindo as duas primeiras equações:
Assim ou
ou, se
, divide-se e obtém-se
. Tratamos os dois casos.
Caso A:
e
.
- Com
, da primeira equação temos . - Da terceira equação:
Igualando as expressões para : Mas na fronteira , substituindo: Então . Pela esfera: Colocando e , temos . Logo Então e são raízes de , i.e. Resolvendo (Δ = ; mas é mais direto escrever as raízes explícitas):
as soluções sãoTemos dois pontos (permuta ), ambos na fronteira. Avaliando usando , , : Portanto esses dois pontos dão .
Caso B:
.
- Pela restrição
vem . Pela esfera: Assim os dois pontos são com sinais iguais. Avaliando (usar ): Mas (pela esfera), logo . - Para
temos e - Para
temos e
- Para
Passo 6
Reunindo todos os candidatos em
e seus valores
:
-
: -
: - Os dois pontos da caso A (fronteira,
): ambos com - Pontos
e (caso na fronteira):
Passo 7
Comparando os valores, o maior é
(em
e
) e o menor é
(em
). Classificações:
- O valor mínimo global é
atingido em . Como é interior relativo a (satisfaz ), ele é também um mínimo local (na verdade mínimo global). - O valor máximo global é
atingido em dois pontos da fronteira: São máximos globais; sendo pontos da fronteira onde não pode ser aumentado por movimentos viáveis em , eles são máximos locais relativos a também. - O ponto
(com ) não é nem máximo local nem mínimo local: é um ponto de sela (ver teste de segunda variação restrita ao espaço tangente à esfera em — a forma quadrática tem autovalores de sinais opostos). - Os outros candidatos
e foram analisados e não superam os extremos globais; dá um valor negativo intermediário e dá um valor positivo intermediário (nenhum deles é extremo global). (Se for necessário classificá-los localmente: é um mínimo relativo na fronteira/curva? na prática ele é um ponto crítico da curva fronteira e produz um valor menor que pontos vizinhos na fronteira — mas como o enunciado pede principalmente os extremos globais, foquei neles.)
Resposta
Máximo global:
em
. Esses são máximos locais (e globais) relativos a
.
Mínimo global:
em
. Esse é mínimo local (e global) relativo a
.
Ponto de sela:
com
(ponto de sela relativo à superfície esférica).