Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sec} (x)-1}{x^{2} \operatorname{sec} (x)}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto 0sec(x)-1x^2,sec(x),
ou seja, estamos em um tópico de limites de funções e vamos usar a expansão em série de Taylor para a função secante em torno de x=0.

Passo 2

Lembrando a expansão de Taylor de sec(x) em torno de 0:
sec(x)=1+x^22+5,x^424+O(x^6)
Dessa forma,
sec(x)-1=x^22+O(x^4)

Passo 3

No denominador temos
x^2,sec(x)=x^2l(1+x^22+O(x^4)r) =x^2+x^42+O(x^6)
Logo a fração fica
sec(x)-1x^2,sec(x) = x^22+O(x^4) x^2+x^42+O(x^6) =x^22l(1+O(x^2)r)x^2l(1+O(x^2)r)

Passo 4

Cancelando x^2 e levando xto0, o termo O(x^2) tende a zero, de modo que
12,1+O(x^2)1+O(x^2);longrightarrow;12

Resposta

12

Exercícios relacionados